什么是规范形式(Canonical Form)？

几乎所有的数学对象都可以用多种方式表达。例如，分数2/6相当于5/15和-4/-12。规范形式是数学家用来描述编码中给定类中的对象的特定模式，独特的方式。类中的每个对象都有一个与规范形式模板匹配的规范表示。数学家发现规范形式特别有用对于有理数，正则形式是a/b，其中a和b没有公共因子，b是正的。这样一个分数通常被描述为"最低条件"。当放入规范形式时，2/6变成1/3。如果两个分数相等，它们的规范表示是相同的。规范形式是数学家用来以编码的、独特的方式描述给定类中的对象的特定模式典型形式并不总是表示数学对象的最常见方式。二维线性方程组的标准形式是通过+C=0，其中C为1或0。然而数学家在进行基本计算时通常使用斜率截距形式-y=mx+b斜率截距形式不是规范的；它不能用来描述直线x=4。数学家发现规范形式在分析抽象系统时特别有用，其中两个对象可能看起来明显不同，但在数学上是等价的。圆环图上所有闭合路径的集合与所有有序对的集合具有相同的数学结构（a，整数的b）。数学家如果用规范形式来描述这两个集合，就很容易看出这种联系。这两个集合具有相同的规范表示，因此它们是等价的。要回答一个关于甜甜圈曲线的拓扑问题，数学家可能会发现回答等价物更容易，关于有序整数对的代数问题。许多研究领域使用矩阵来描述系统。矩阵是由它的单个项定义的，但这些项通常不表示矩阵的性质。典型形式帮助数学家知道两个矩阵在某种程度上是相关的，否则可能不明显。布尔代数是逻辑学家描述命题时使用的结构，有两种典型形式：析取范式和合取范式。这两种范式分别在代数上等价于多项式的因式分解或展开式。一个简短的例子说明了这种联系学校可能会说："足球队必须在前两场比赛中赢一场，并在第三场比赛中击败对手黄蜂队，否则教练将被解雇"此声明在逻辑上可以写成（w1+w2）*H+F，其中"+"是逻辑"或"运算，"*"是逻辑的"and"运算。此表达式的析取范式是w1*H+w2*H+F。其合取范式为（w1+w2+F）*（H+F）。这三个表达式在完全相同的条件下都是真的，因此它们在逻辑上是等价的。工程师和物理学家在考虑物理系统时也会使用标准形式。有时一个系统在数学上与另一个系统是相似的，即使它们看起来一点也不相似用于建模一个系统的微分矩阵方程可能与用于建模另一个的微分矩阵方程是相同的，当系统以规范形式（如可观察的规范形式或可控的规范形式）进行转换时，这些相似性就变得明显了。