什么是二项式系数(Binomial Coefficients)？

二项式系数定义了当从给定大小的集合中选取一定数量的结果时可能出现的组合数。它们用于二项式定理中，这是一种扩展二项式函数的方法-一个包含两个项的多项式函数。例如，完全由二项式系数组成。帕斯卡三角形中的每一个数字都是一个二项式系数。从数学上讲，二项式系数是用一组括号内垂直排列的两个数字来表示的。最上面的数字用"n"表示。通常用"r"或"k"，最下面的数字是从"n"中选择的无序结果的数目。两个数字都是正数，"n"大于或等于"r"。二项式系数，或从"n"中选择"r"的方式的数目，是使用阶乘计算的。阶乘是指一个数乘以下一个最小数乘以下一个最小数，以此类推，直到公式达到1。它在数学上表示为n！=n（n-1）（n-2）…（1）。零阶乘等于1。对于二项式系数，公式是n阶乘（n！）除以（n-r）的乘积！乘以r！，通常可以减少，如果n为5，r为2，则公式为5！/（5-2）！2个！=（5*4*3*2*1）/（（3*2*1）*（2*1））。在这种情况下，3*2*1同时存在于分子和分母中，因此可以将其从分数中去掉。这导致（5*4）/（2*1），等于10。二项式定理是计算二项式函数展开的一种方法，用（a b）^n-a加b表示为n次方；a和b可以由变量、常数或两者兼而有之。为了展开二项式，展开式中的第一项是二项式系数n和0乘以a^n。第二项是二项式系数n和1乘以a^（n-1）b展开式的每个后续项都是通过在二项式系数的底数上加1，将a提高到n减去该数的幂，并将b提高到该数的幂，继续下去，直到系数的底数等于n。Pascal~s三角形中的每个数字都是一个二项式系数，可以用二项式系数的公式计算出来。三角形从顶部的1开始，下面一行中的每个数字都可以通过在其上对角加起来的两个项目来计算Pascal~s三角形有几个独特的数学性质-除了二项式系数外，它还包含Fibonacci数和figurate数。