向量范数 vs 空间点距离

绪：

本文本家儿要介绍标的目的量范数和空间点距离；

包罗：

标的目的量范数界说；

欧式距离；曼哈顿距离；切比雪夫距离；闵可夫斯基距离；马氏距离；

东西/原料

• 图像根本

方式/步调

1. 1

   标的目的量范数norm：||x||

   标的目的量的范数简单可理解为标的目的量的长度，或者两个点之间的距离；

   标的目的量的范数是一个函数||x||，

   知足：

   非负性||x||>=0；

   齐次性||cx||=|c| ||x||；

   三角不等性：双方之和年夜于第三边，||x+y||<=||x||+||y||；

   常用范数形式：

   L1范数：||x||为x标的目的量各元素绝对值之和；

   L2范数：||x||为x标的目的量各元素平方和的1/2次方；

   Lp范数：||x||为x标的目的量各元素绝对值p次方和的1/p次方；

   L∞范数：||x||为x标的目的量各元素绝对值最年夜的元素的绝对值；

   椭球标的目的量范数：||x||A = sqrt[T(x)Ax]， T(x)代表x的转置。

   
2. 2

   欧式距离Euclidean distance：对应L2范数

   两点之间或多点之间的距离；

   设n为空间中x1(x11,x12,..,x1n)与x2(x21,x22,..,x2n)间的欧式距离：

   
3. 3

   曼哈顿距离Manhattan Distance：对应L1范数

   在欧几里得空间中，固心猿意马直角坐标系上两点所形当作的线段对轴发生的投影的距离总和；

   例如：

   点(x1,y1)(x2,y2)的曼哈顿距离为d=|x1-x2|+|y1-y2|；

   
4. 4

   切比雪夫距离Chebyshev distance：对应L∞范数

   若两标的目的量别离为x1(x11, x12, x13, ... , x1n)和x2(x21, x22, x23, ... , x2n)，

   则其切比雪夫距离为：

   d = max(|x1i - x2i|)。

   
5. 5

   闵可夫斯基距离Minkowski Distance：对应Lp范数

   闵式距离是一组距离的界说，

   两个n维变量x1(x11,x12,…,x1n)和x2(x21,x22,…,x2n)，

   其闵可夫斯基距离界说为：

   此中p是一个变参数。

   当p=1时，就是曼哈顿距离，

   当p=2时，就是欧氏距离，

   当p→∞时，就是切比雪夫距离，      

   按照变参数的分歧，闵氏距离可以暗示一类的距离。

   
6. 6

   马氏距离Mahalanobis：对应椭球范数

   有m个样本标的目的量x1~xm，协方差矩阵记为S，均值记为标的目的量μ，

   则此中样本标的目的量x到μ的马氏距离暗示为：

   协方差矩阵Cov(x,y) = E{ [x-E(x)] [y-E(y)]}，此中E为数学期望；

   标的目的量xi与xj之间的马氏距离界说为：

   优错误谬误：与量纲无关，解除变量之间的相关性的干扰。

   

注重事项

• 范数的界说
• L1范数，L2范数