什么是克罗内克三角洲(the Kronecker Delta)？

Kronecker delta函数，表示为δi，j，是一个二元函数，如果i和j相等，则等于1，否则等于0。虽然从技术上讲，它是两个变量的函数，但实际上它被用作符号速记，允许紧凑地编写复杂的数学语句，从事线性代数工作的物理学家和工程师，张量分析和数字信号处理使用Kronecker delta函数作为一种便利方法，可以在一个方程中表达原本可能需要几行文本的内容。数学家使用Kronecker delta函数在一个方程中传递否则可能需要几行文本的内容。这个函数是通常用于简化涉及sigma符号的方程式的编写，sigma符号本身就是一种用于表示复杂总和的简明方法。例如，如果一家公司有30名员工{e1，e2…e30}，并且每个员工的工作时间不同{h1，h2…h30}以不同的小时费率{r1，r2…r30}，支付给这些员工的总工资等于e1*h1*r1e2*h2*r2e3*h3*r3…e30*h30*r30。数学家可以将其简洁地写成∑iei*hi*ri。当描述涉及多个维度的物理系统时，物理学家经常必须使用双求和法。实际的科学应用非常复杂，但是一个具体的例子说明了Kronecker delta函数如何简化这些情况下的表达式。一家商场有三家服装店，每家店销售不同的品牌。共有20种款式的衬衫可供选择：8种1号店有7条，3号店有5条，1号店有5条，2号店有3条，3号店有4条一个人可以买240套衣服，因为衬衫有20种选择，裤子有12种选择。每种组合都会产生不同的服装。要计算选择衬衫和裤子来自不同商店的服装的方法并不是那么简单。你可以用8*3的方式从1号商店选择衬衫，从2号商店选择裤子。有8*4种方法从商店1选择一件衬衫，从商店3中选择裤子。继续这样做，你会发现使用不同商店物品的服装总数是8*3 8*4 7*5 7*4 5 5*3=199。可以将衬衫和裤子的可用性看作两个序列，{s1，s2，s3}={8，7，5}和{p1，p2，p3}={5，3，4}。然后Kronecker delta函数允许将这个和简单地写成∑i∑jsi*pj*（1-δi，j）。（1-δi，j）术语排除了那些在同一家商店购买衬衫和裤子的服装，因为在这种情况下，i=j，因此δi，j=1和（1-δi，j）=0。将该项乘以0可将其从和中移除。Kronecker delta函数在分析多维空间时最常用，但也可用于研究一维空间，如实数线。在这种情况下，通常使用单个输入变量：δ（n）=1 ifn=0；δ（n）=0。要了解如何使用Kronecker delta函数简化有关实数的复杂数学语句，可以考虑以下两个输入为简化分数的函数：f（a/b）=aifa=b1，f（a/b）=-b如果b=a1，否则f（a/b）=0g（a/b）=a*δ（a-b-1）–b*δ（a-b1）函数f和g是相同的，但g的定义更紧凑，不需要英语，因此世界上任何数学家都可以理解它。如这些例子所示，Kronecker delta函数的输入通常是连接到某个值序列的整数，Dirac delta分布是Kronecker delta函数的连续模拟，用于积分函数而不是求和序列。