用Mathematica绘制微分方程的图形

        这里要介绍的是用Mathematica解微分方程（组），并按照响应的成果，进行相关画图，甚至进步履态模拟。

东西/原料

• 电脑
• Mathematica

方式/步调

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           给出微分方程y''(x)+y(x)==1，求其的通解：

   DSolveValue[y''[x] + y[x] == 1, y[x], x]

           获得的通解是：c2*sin(x)+c1*cos(x)+1。

           显然，通解是不成能作出图像的！

           可是，我们可以对c1、c2付与分歧的值，再用Show+Table，把所作的图放到一路（注重，年夜写字母C是Mathematica的内部函数，是以，作图的时辰，要把C全数换当作c）：

   Show[Table[

     Plot[1 + c[1] Cos[x] + c[2] Sin[x], {x, -2 Pi, 2 Pi}],

    {c[2], -1, 1,0.5}, {c[1], -1, 1, 0.5}]]

   
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           用NDSolveValue 可求出微分方程的数值解（俗称——特解）：

   NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^6 + x + 1], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]

           没有给出公式，可是不故障作图：

   Plot[%, {x, -5, 5}]

   
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           求二元微分方程组的特解：

   {xsol, ysol} = 

    NDSolveValue[{

   x'[t] == -3 y[t] - x[t]^2, 

   y'[t] == Sqrt[3] x[t] - y[t]^3, 

   x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 100}]

           把成果作为参数方程，来进行作图，这是混沌现象：

   ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 100}]

   
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           用互动结果演示一下上图的作图过程：

   Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100}]

   Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100，0.1}]

   Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 10，0.001}]

   
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           这个让我想到了闻名的“Lorenz吸引子”，需要知足的微分方程组是：

   x' (t)=-10(x(t)+y(t) )

   y' (t)=x(t)(-z(t) )+28x(t)-y(t)

   z' (t)=x(t)y(t)-(8z(t))/3

           “Lorenz吸引子”的每一个点由{x(t),y(t),z(t)}确定，t是时候参数。我们先来解出{x(t),y(t),z(t)}当x(0)=z(0)=0,y(0)=1时的数值解：

   NDSolve[{x'[t] == -10 (x[t] - y[t]), 

     y'[t] == -x[t] z[t] + 28 x[t] - y[t], 

     z'[t] == x[t] y[t] - (8/3) z[t], 

     x[0] == z[0] == 0, y[0] == 1}, 

     {x, y, z}, {t, 0, 200}, MaxSteps -> Infinity]

   
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           然后在三维空间里，画出它的图像：

   ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]} /. %], {t, 0, 200}, 

    PlotPoints -> 50000]

   

注重事项

• 关于微分方程的相关理论十分丰硕，这里仅仅是涉及到一点“外相”，远远不克不及解决年夜大都问题。
• 今后，再慢慢的深切进修吧！